数学规律到底是一种客观实在，还是数学家发明出来的一种游戏？这是一个很难回答的问题。数学家对他们研究的对象往往持有两种互不相容的观点。
例如，素数之间存在哥德巴赫猜想所揭示的关系，数学家们还在不断地发现这种关系。但是，这一猜想（数学对象）是不是独立于人类存在的呢？
如果数学对象是真实的客体，那为什么不能被触摸，不能与它们互动？这些问题常常导致数学家做出这种假设：事实上，数学对象的世界是虚构的。
数学概念的游戏
当我告诉别人我是一名数学家时，最让人感到奇怪的反应之一就是：“我真的很喜欢数学课，因为这里的一切要么是对的要么是错的，不存在含糊不清或者不确定性。”对此，我总是支支吾吾地回应。事实上，并不是每个人都喜欢数学这门学科，而我也不想打击人们对数学的积极性。其实，数学也充满了不确定性，只不过数学自身很好地隐藏住了这种不确定性。
我当然理解那种认为数学不存在不确定性的观点。比如说，如果老师问你，7是否为一个素数，那答案肯定是“是”。因为根据定义，素数是一个大于1且只能被自身和1整除的整数，2、3、5、7、11、13等都是素数，所以7是素数是非常确定的。
在过去几千年中，在全世界的任何地方、任何时候、任何数学老师都得承认，“7是素数”这个说法是正确的，而不会给你的回答打叉。然而，很少有其他学科可以像数学这样获得如此令人难以置信的共识。但是，如果你问100位数学家这些数学命题的本质可以用什么来解释，你却可能得到100个不同的答案。数字7可能真的只是作为一个抽象的数学对象而存在，而素数性质是该对象的一个特征。又或者，素数这个概念本身可能是一个数学家精心设计的游戏。换句话说，数学家们能够一致同意一个命题是正确还是错误的，但他们不能就这个命题的本质达成一致意见。
在一定程度上，这些争议是一个简单的哲学问题：数学到底是由人类发现的客观规律，还是依赖于主观愿望的发明？也许7是一个独立于我们的真实客体，但它的本质是什么却是数学家目前还在探索中的事物。或许它是人们想象中的虚构之物，其定义和属性是灵活可变的。事实上，数学研究的这种行为激发了一种与哲学上的二元论相似的观点，在该观点中，数学是人类的发明，也是人类的发现。
这一切在我看来有点像即兴表演的戏剧。数学家构造了一个由少数字符或客体构成的数学背景舞台，以及一些互相作用的规则，然后看这些数学对象在这种背景下如何发展演变。结果是这些字符演员们完全独立于数学家的意图，迅速发展出令人惊讶的特性和关系。然而，无论谁来导演这场剧，结局总是一样的。正是这种结局的必然性赋予了数学学科强大的凝聚力。关于数学对象的本质和数学知识获取的难题还隐藏着，没被发现。
真理与证明
我们如何判断数学命题是否正确？跟自然科学家通常通过从观测自然现象来推断自然界的基本原理不同，数学家是从数学对象的规则开始，严格地推导出结论。这种演绎过程被称为证明。这个过程通常是从比较简单的前提出发，推导出复杂的结论。初看起来，数学证明过程似乎是数学家之间取得共识的关键因素。
但证明仅赋予了数学基于某些条件才成立的真理，也就是说结论的真实性取决于前提假设的真实性。有一个普遍观点认为，数学家之间的共识是由基于证明的论证结构产生的。证明基于某些核心假设，其他的结论都依赖于这些假设。这就提出了一个问题：这些核心假设和想法从何而来？
其实，数学最重要的一点，通常是有用性。例如，我们需要数字，以便我们可以计算牛的头数，测量田地的面积。有时，最初的假设是具有审美趣味的。例如，我们可以发明一种新的算术系统，在这个系统中，一个负数乘以一个负数就是一个负数。但是，在这个系统中，那些直观和理想的数轴属性将会消失。数学家对基本对象（例如负数）及其性质（例如将它们相乘的结果）的判断需要与一个更大的数学框架自洽。因此，在证明一个新定理之前，数学家需要观看这出戏剧的发展。只有这样，数学家才能知道要证明什么：什么才是真正不变且必然的结论。
因此，数学的发展有三个阶段：发明、发现和证明。
数学中的角色几乎总是由非常简单的对象构成。例如，圆被定义为与中心点等距的所有点的集合。因此，圆的定义依赖于一个点的定义（这是一种非常简单的对象类型）以及两个点之间的距离。类似地，重复加法的过程就是乘法；一个数重复自己乘自己的乘法就是乘方。因此，乘方的属性继承了乘法的属性。反过来，我们也可以通过研究被定义得更简单的对象来了解更复杂的数学对象。这导致一些数学家和哲学家将数学设想为倒金字塔，其中许多复杂的对象和想法都是从位于狭窄塔底的简单概念中推导出来的。
在19世纪末20世纪初，一群数学家和哲学家开始思考，到底是什么托起了这个沉重的数学倒金字塔。他们极度担心数学没有基础——没有任何东西支持1+1=2这样的数学结论的真实性。
一些数学家希望通过一个相对简单的公理集合，从中可以得出所有数学真理。然而，美国数学家科特·哥德尔（Kurt Godel）在20世纪30年代的工作经常被用来证明这种公理化系统是不可能的。首先，哥德尔表明，任何合理的公理系统都是不完备的，这个系统所存在的数学表达既不能被证明，也不能被反驳。哥德尔关于数学不完备性的定理给了数学一个毁灭性的打击。本来大家觉得数学公理的基本系统应该是一致的，没有既可以被证明又可以被反驳的表述。更重要的是，以前的数学家觉得，数学系统应该能够证明它自己的一致性。但哥德尔定理指出这是不可能的。
寻找数学基础的探索过程确实导致了一个基本公理系统的发现，这个系统被称为泽梅洛-弗雷蒙（Zermelo-Fraenkel）集合论，人们可以从中得到最有趣的数学。基于集合论，不但数学变得非常简单而清晰，大部分的数学知识也有了稳固的基础。
在整个20世纪，数学家争论着是否应该扩展泽梅洛-弗雷蒙集合论，即所谓的选择公理：如果你有无数个包含对象的集合，那么你可以从每个集合中选择一个对象来形成一个新的集合。比如有一排桶，每个桶中有一组球，还有一个空桶。从排成一排的每个桶中，你可以选择一个球并将其放入空桶中。选择公理允许你使用无数排的桶进行操作。这种方法不仅具有直观的吸引力，可以用来证明一些有用的数学表述，还暗示了一些奇怪的东西，比如Banach-Tarski悖论，它表明你可以将一个实心球分成几个部分，并将这些部分重新组装成两个新的实心球，每个球的大小与原来的球相等。换句话说，你可以获得两个球。选择公理蕴含了许多重要的表述，但也带来了额外的问题，包括了一些奇怪的不良表述。但是如果没有选择公理，数学似乎缺少了一些关键的本质性的内容。
大部分现代数学使用着一套随时间推移而逐渐形成的标准定义和惯例。例如，数学家曾经将1视为素数，但现在不是了。然而，他们仍然在争论0是否应该被理解为自然数（有时称为计数数字，自然数被定义为0、1、2、3……或1、2、3……这取决于你问谁）。哪些字符或发明能成为数学经典的一部分，通常取决于结果的有趣程度，而这种观察可能需要数年时间。从这个意义上讲，数学知识是累积的。
发现或者发明
如前所述，数学家一开始考虑在特定应用条件下来定义数学对象和公理。然而，随着时间推移，数学发展到了的第二个阶段——发现。例如，素数是乘法的基石，是最小的乘法单位。如果一个数不能写为两个较小数的乘积，则此数是素数。所有非素数（合数）都可以通过一组唯一的素数相乘得到。
1742年，德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫（Christian Goldbach）假设每个大于2的偶数都是两个素数之和。如果你选择任意一个偶数，那么哥德巴赫猜想指出，你都可以找到两个素数相加得到这个偶数。如果你选择8，这两个素数是3和5；如果你选择42，则可以为13+29。哥德巴赫猜想之所以令人惊讶，是因为尽管素数起初被设计成相乘，但这个猜想表明，素数之和与偶数之间存在令人难以置信的关系。
大量证据表明，哥德巴赫猜想是成立的。在此后的300年中，计算机数值计算证实，这个猜想对小于〖4×10〗^18的所有偶数都是正确的。但是，这一证据不足以让数学家们宣称哥德巴赫猜想是正确的，因为无论计算机检查了多少个偶数，但偶数有无穷多个，因此总可能存在一个反例潜伏在角落里——一个不是两个素数之和的偶数。
想象一下，计算机每次找到两个素数之和为特定偶数的时候，会把这个偶数记录下来。到目前为止，这是一个非常长的数字列表，你可以把它作为一个令人信服的理由，让大家相信哥德巴赫猜想是对的。但是，总有人能够想到一个不在列表中的偶数，并询问你如何知道哥德巴赫猜想对于那个数字也依然成立。不是所有（无限多个）偶数都会出现在列表中，因此，只有从基本原理出发，通过逻辑论证证明哥德巴赫猜想对于任何偶数都成立，才足以将这一猜想提升为一个定理。然而，直到今天，还没有人能够提供这样的证明。
哥德巴赫猜想说明了数学发现阶段和证明阶段之间的重要区别。在发现阶段，人们寻求数学事实与数学现象，而数学本质则需要坚实的证明。
数学家需要整理数学发现并决定要证明什么，但它们也可能具有欺骗性。例如，让我们构建一系列数字：121、1211、12111、121111、1211111等。我们做如下一个猜想：数列中的所有数字都不是素数。为这个猜想提供证据是很容易的。可以看到121不是素数，因为121=11×11。同样，1211、12111和121111都不是素数。这种模式可以持续一段时间，但随后它突然就出错了。这个序列中的第136个数（即数字12111……111，其中有136个“1”跟在“2”后面）是素数。
数学发现阶段仍然是极其重要的。比如它可以揭示哥德巴赫猜想给出的素数之间的隐藏联系。在发现这种深刻联系之前，数学家通常会对两个完全不同的数学分支进行研究。一个相对简单的例子是欧拉恒等式，eiπ+1=0，它通过数字e（自然对数的基数）将几何常数π与数字i（代数上定义为-1的平方根）联系起来。这些惊人的发现是数学美感和好奇心的一部分。它们似乎指向一个更深层次的基础结构，而数学家才刚刚开始理解这些结构。
在这个意义上说，数学既能被发明又能被发现。研究对象是被精确定义的，但它们具有自己的生命，会揭示意想不到的复杂性。因此，数学对象可以被视为既是实际存在的同时又是被人为创造的。正如某哲学家所写的那样，“二元性对于数学家的工作方式没有任何影响”。
现实或者虚幻
数学现实主义似乎是发现阶段的哲学立场：数学研究的对象，例如从圆和素数再到矩阵和流形，是真实并且独立于人类思想而存在的。就如同探索遥远星球的天文学家或研究恐龙的古生物学家，数学家是在收集对真实实体的洞见。例如，证明哥德巴赫猜想成立，即为证明偶数和素数之间通过加法相联系的特定性质，就像古生物学家可能会通过两个物种解剖结构之间的相关性来表明一种恐龙起源于另一种恐龙。
现实主义的各种表现形式，如柏拉图主义，很容易理解数学的普遍性和实用性。每一个数学对象都具有一个性质。比如7，它是一个素数，如同恐龙具有飞行的属性。一个数学定理，如两个偶数之和为偶数——这是正确的。因为偶数确实存在，并且彼此之间存在特定的关系。这就解释了为什么跨越时间、地理和文化差异的人们普遍认同这些数学事实。
但有些人对现实主义持有反对意见。他们认为，如果数学对象真实存在，那么它们的性质肯定是非常独特的。首先，数学对象非常抽象，所以你不能真正地与它们互动。这是一个问题，因为恐龙能分解成可以看到和触摸的骨骼，行星也可以从恒星前面经过，被天文学家观测到，但数学上的圆是一个抽象的物体，不受空间和时间的限制。事实上，π是圆周与圆直径的比值，并不与苏打水或甜甜圈有关；它指向的是一个数学上抽象的圆，其中距离是精确的，并且圆上的点也是无穷小的。这样一个完美的圆看起来在现实生活中无法达到。那么，如果没有某种特殊的第六感，我们如何才能了解有关圆的事实呢？
这就是现实主义的困难之处——它无法解释我们如何知道抽象的数学对象的本质。所有这些都可能导致数学家从现实主义立场上退缩。反现实主义把数学框定为一种纯粹形式的思维练习或一部完整的小说，很容易就能避开认识论的问题。
形式主义是一种反现实主义的形式，也是一种哲学观点。它主张数学就像一场游戏，数学家们只是在玩游戏规则——说7是素数，就好像在说骑士是唯一能以L形式运动的国际象棋棋子。另一种哲学观点是虚构主义，认为数学对象是虚构的——说7是素数，就像是在说独角兽是白色的。数学在其虚构的宇宙中存在意义，但在它之外却没有真正的含义。
但是，如果数学只是被编造出来的，那么它怎么可能成为科学中必不可少的一部分呢？从量子力学到生态学模型，数学是一个广泛而精确的科学工具。科学家并不指望基本粒子按照国际象棋的规则移动。自然科学描述的重担完全落在数学身上，这与游戏或虚构是截然不同的。
最后，这些问题并不影响数学的实际应用。数学家可以自由地选择对自己职业的解释。在《数学经验》（The Mathematical Experience）一书中，菲利普·戴维斯（Philip Davis）和鲁本·赫什（Reuben Hersh）有一句名言：“典型的职业数学家平日里是柏拉图主义者，在周末则是形式主义者。”
